数学を愛する会の「テトリス問題」を解こう
【テトリス問題】
— 数学を愛する会 (@mathlava) 2020年1月29日
5×5の正方形のマスから中央の1マスを取り除いた、合計24マスの形がある。
この24マスを図の6つのテトロミノで埋める時、必ずどれか同じ種類のテトロミノを2回以上使うことを証明せよ。 pic.twitter.com/lIvRtipCPm
これを解こう。
24マスの盤面を互いに異なるテトロミノで埋める組み合わせが存在するならば、６種類のテトロミノが使われることになる（６種類×４マス＝24マス）。したがって、７種類の内１つは使われないテトロミノがある。
実は、テトロミノTは必ず使われないことがすぐに示せる。盤面の各マスを白と黒でチェス盤のように塗りつぶすと、白のマスと黒のマスは共に12マスある。
基本的に１つのテトロミノが盤面に配置されると、白マスと黒マスは２つずつ埋められていくが、Tに限り白３マスと黒１マス、または黒３マスと白１マスが埋められてしまう。
残りの盤面の白のマスと黒のマスの数が同一でなくなると、他のテトロミノで盤面を埋めていったとしてもその差を維持しつづけるので、最後に黒３マスと白１マスか、白３マスと黒１マスが残った状態になる。それらを埋められるのはテトロミノTだけだが、つまりそれはTを２回以上用いることに他ならない。
したがって、必然的に残りの６種類で盤面を埋めることになるので、T以外のテトロミノは必ず使われることが分かる。
次に、テトロミノSの配置方法について考える。そのためには次の４つのケースを考えればよい（どのように配置しても、盤面を回転させることでいずれかのケースと一致する）。
これらを左から順にケースA、ケースB、ケースC、ケースDと名付け、それぞれについて考えることにする。が、ケースDは明らかに盤面を埋められる配置ではないので、この時点で除外する。
ケースAとケースBにおいてテトロミノOを配置することを考えると、２つのテトロミノによって盤面は２つに分割される。このとき、どのようにOを配置しても残りの盤面は奇数マスと奇数マスに分けられてしまうことが言える。
(4の倍数)マスの領域でないとテトロミノで埋めることはできないので、ケースAとケースBにおいてはOは配置できないことが分かった。しかしこれは「T以外の６種類すべてを使う」という条件に反する。したがって、ケースAとケースBはあり得ないということが言える。
最後に、ケースCについて考える。Sの下の領域は明らかにテトロミノLしか入らないのであらかじめ埋めておく。
ここでテトロミノZを配置することを考える。様々な配置を仕方があるが、残りの領域を(4の倍数)マスずつに分割する配置の仕方は次のものしかない（残りの配置は、奇数マスの領域を発生させてしまう。確認してみよ）。
この調子で空いているマスに入れられるテトロミノを配置していくと、ケースCにおいては次の配置しか許されないことになる。
無論、この配置はテトロミノOを２つ用いているため条件に反する。
以上より、テトロミノSはどのように配置しても「互いに異なるテトロミノで盤面を埋める」という条件を満たせないことが分かった。したがって、TとSを除いた５種類で盤面を埋めるしかないが、鳩ノ巣原理により５種類の内必ず２つ使われるテトロミノが存在することが言える。
よって、「24マスの盤面を埋めるのに必ず同じ種類のテトロミノが２回以上使われる」は真である。
【余談】
テトリミノはテトリスにおけるテトロミノの別称である。なので、「４つの正方形を繋げた形」の一般的な名称はテトロミノである（Wikipedia参照）。
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